Naturwissenschaften

Ein normales Schachbrett mit der Größe 8x8cm liegt vor uns.
Berechne die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate, die aus einer geraden Anzahl von 1x1cm Einheitsquadraten bestehen.

 Lösung November-Rätsel:

Die beiden Strecken a₁ und a₂ bilden mit den Koordinatenachsen zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Daher verhalten sich die Hypotenusen a₂ und a₁ wie die Katheten y und 1. Der Quotient q der geometrischen Folge ist daher

q = a₂/a₁ = y

Die Summe aller Streckenlängen ist nach der Formel für die unendliche geometrische Reihe

s = a₁/(1 – q)

Setzt man für s = 5 und für a1 = Öy² + 1 ein, erhält man die Gleichung

5 = Öy² + 1/(1 – y) | .(1 – y)
5 – 5y = Öy² + 1 | ²
25 – 50y + 25y² = y² + 1
24y² – 50y + 24 = 0
₂y₁ = (50 ± Ö2500 – 2304)/48
y₁ = 36/48 = ¾ = 0,75

(y₂ = 4/3 > 1 ist unmöglich für eine konvergente geometrische Reihe)