Einer Kugel mit Radius R=1 wird ein gerader Kreiskegel umschrieben.

Dafür gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
Bestimme die Höhe h des Kegels mit dem kleinsten Volumen.

(Zitiert aus www.zahlenjagd.at)

Aufgabe und Lösung Oktober-Rätsel:

Wir bilden den "Multiplikationswürfel" der Resultate a*b*c mit a, b, c aus der Menge M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Zeige, dass die Summe aller Elemente so eines Multiplikationswürfels immer eine Kubikzahl ist.
Welche neunten Potenzen treten dabei auf?

Lösungsvorschlag:

Die Summe aller 27 Produkte entspricht der 3. Potenz des Trinoms (a + b + c).
(a + b + c)³ = (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc).(a + b + c) =
= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc²+ 6abc

Wenn die Summe a + b + c bereits eine 3. Potenz (8 oder 27) ist, dann ist
(a + b + c)³ eine 9. Potenz. Wenn a, b und c auch gleich sein können, ergeben sich folgende Möglichkeiten:
1+1+6, 1+2+5, 1+3+4, 2+2+4, 2+3+3 bzw. 9+9+9
Dabei kann die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden.