Naturwissenschaften

Gegeben ist das Rechteck ABCD mit der Grundseite AB = 2a.

Dem Rechteck sind zwei gleichseitige Dreiecke AEF und EBG einbeschrieben. Die Diagonale BD schneidet die Dreieckseiten in den Punkten M, N und P. 
Berechne die Länge der eingezeichneten Strecken w, x, y und z in Abhängigkeit von AE = EB = a.

(Zitiert aus www.zahlenjagd.at)

Lösung März-Rätsel:

Die rote Fläche in der Mitte wird von vier Viertelkreisbögen mit dem Radius a (Seitenlänge des Quadrats) begrenzt. Sie besteht aus einem Quadrat und vier aufgesetzten Kreissegmenten mit r = a und Zentriwinkel α = 30°.
Der Flächeninhalt eines Segments ist der Flächeninhalt des Sektors vermindert um den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks:
a²π.30/360 – a².sin30°/2 = a²π/12 – a²/4 = a².(π – 3)/12
Die Seitenlänge s des Quadrats in der Mitte erhält man z.B. mit dem Kosinussatz: s² = a² + a² – 2a².cos30° = a².(2 – Ö3)
Der Inhalt der roten Fläche in der Mitte beträgt daher
A₁ = a².(π – 3)/3 + a².(2 – Ö3) » 0,3151.a² = 31,51%

Die grün gefärbten Flächen am Rand lassen sich in acht gleich große Stücke zerlegen. Der Flächeninhalt eines dieser Stücke ist die Differenz zwischen dem Flächeninhalt eines Trapezes mit den Parallelseiten a und a.(1 – Ö3/2) und der Höhe a/2 sowie einem Kreissektor mit dem Radius a und dem Zentriwinkel 30°.
A₂ = 8.[a.(2 – Ö3/2).a/4 – a².π/12] = a².(4 – Ö3) – 2a².π/3 » 0,1736 = 17,36%

Zwei der gelb gefärbten Flächen (z.B. links unten und rechts oben) bilden zusammen eine Fläche, die aus zwei Kreissegmenten mit r = a und α = 45° abzüglich der roten Fläche besteht.
A₃/2 = 2.(a²π/4 – a²/2) – A₁ = a².(π – 2)/2 – A₁
A₃ = a².(π – 2) – 2.A₁ » 0,5114a² = 51,13%

Bildet man zur Kontrolle die Summe, erhält man 100%.