Naturwissenschaften

Vier rote Lichter sind an den Punkten (2,0), (4,0), (6,0) und (8,0) und vier blaue Lichter sind an den Punkten (1,0), (3,0), (5,0) und (7,0) in der xy-Ebene angeordnet. Diese Lichter können nun ein- oder ausgeschaltet sein. 
Auf wie viele Arten kann man Muster mit eingeschalteten Lichtern erzielen, die zu einer Linie parallel zur y-Achse symmetrisch sind?

(Zitiert aus www.zahlenjagd.at)

Lösung April-Rätsel:

Die Breite des Rechtecks ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks AD = a.√3/2

Bettet man die obige Figur in ein Koordinatensystem mit A(0/0) ein, so hat die Gerade g durch B und D die Steigung k = (-a.√3/2)/(2a) = -√3/4) und daher die Gleichung y = -x.√3/4 + a.√3/2

Die Gerade durch A und F hat die Gleichung y = √3.x. Ihr Schnitt mit g ergibt
x.√3 + 4x.√3 = 2a.√3  Þ  x = 0,4a, y = 0,4a.√3, M(0,4a / 0,4a.Ö3)
w = DM = √(0,4.a)² + (a.√3/2 – 0,4a.√3)² = √(0,16a² + 0,75a² – 1,2a² + 0,48a²)
    = a.√0,19 = (a/10).Ö19

Die Gerade durch E und F hat die Gleichung y = -√3.x + a.Ö3. Ihr Schnitt mit g ergibt  -x.√3/4 + a.√3/2 = -√3.x + a.Ö3  Þ  x = 2a/3, y = a.√3/3, N(2a/3; a.Ö3/3)
x = MN = √(2a/3 – 2a/5)² + (a.√3/3 – 2a.√3/5)² = √(4a/15)² + (-a.Ö3/15)² =
    = Ö16a²/225 + 3a²/225 = (a/15).Ö19

Die Gerade durch E und G hat die Gleichung y = √3.x – a.Ö3. Ihr Schnitt mit g ergibt  -x.√3/4 + a.√3/2 = √3.x – a.Ö3  Þ  x = 6a/5, y = a.√3/5, P(6a/5; a.Ö3/5)
y = NP = √(6a/5 – 2a/3)² + (a.√3/5 – a.√3/3)² = √(8a/15)² + (-2a.Ö3/15)² =
    = Ö64a²/225 + 12a²/225 = (a/15).Ö76 = (2a/15).Ö19

z = PB = √(2a – 6a/5)² + (-a.√3/5)² = √(4a/5)² + (-a.Ö3/5)² =
    = Ö16a²/25 + 3a²/25 = (a/5).Ö19

Bildet man w + x + y + z = (a/10 + a/15 + 2a/15 + a/5).Ö19 = (a/2).Ö19, erhält man die Länge der Diagonale BD = Ö(2a)² + (a.Ö3/2)² = Ö4a² + 3a²/4 = (a/2).Ö19